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中考复习:九年级数学中考第一轮复习—三角形的相关知识归纳

          大家好,欢迎进入Math实验室— 专注于数学的我们是用心的! 本文我们主要分享一下初中数学中三角形的相关知识,而本文主要是通过对①三角形的边与角;②全等三角形;③等腰三角形;④直角三角形;相关知识进行探究,来帮助学生梳理三角形的相关知识,同时也希望能够让学生和老师有所感悟,接下来我们也将进行详细讲解,至于其他未涉及内容我们将会在后续更新出来,也请大家持续关注~针对于文章中有什么问题也希望大家可以留言、评论指教交流~

一、三角形的边与角

1、三角形的三边关系:

三角形任意两边的和大于第三边,任意两边之差小于第三边.

2、三角形的高、中线、角平分线:

①在三角形中,从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高;

②联结三角形一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的中线;

③三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.

3、三角形的内角和:

三角形的内角和等于180°.

【要点诠释】

一个三角形的三个内角中最多有一个钝角或直角.

4、三角形的外角:

(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;

(2)三角形的外角和定义:对于三角形的每个内角,从与它相邻的两个外角中取一个,这样取得的三个外角相加所得的和,叫做三角形的外角和;三角形的外角和等于360°.

5、三角形的分类

【例题分析】三角形的内心是( )

A.三边垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条高所在直线的交点
D.三条中线的交点

【答案】B.

【解析】

A是外心;
C是垂心;
D是重心.

【总结】考查三角形中四心的基本概念.

二、全等三角形

1、全等形的概念:

能够重合的两个图形叫做全等形.

2、全等三角形的性质

(1)全等三角形的对应边相等;

(2)全等三角形的对应角相等;

(3)全等三角形的周长相等,面积相等.

3、全等三角形判定方法:

4、全等三角形证明题的解题思路:

【答案】B

【解析】

A、可以通过“SAS”判断出全等;

C、可以通过“AAS”判断出;

D、可以通过“ASA”判断出.

【总结】考查全等三角形的判定.

三、等腰三角形

1、等腰三角形的两个底角相等,简称:等边对等角.

2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边的高互相重合,简称:等腰三角形三线合一. 

3、等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是顶角的角平分线所在的直线.

4、等腰三角形的判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等,这个三角形是等腰三角形.简称:等角对等边.

【例题分析】如图,已知等边三角形ABC中,点D在边AB上,点E在边BC上,AD = BE,那么∠CPE=_______.

【答案】60°.

【解析】

在△ABE与△CAD中,
∵AD=BE,∠B=∠BAC,AB=AC,
∴△ABE≌△CAD(SAS),
∴∠ACD=∠BAE
∴∠CPE=∠CAE+∠ACD=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°.

【总结】考查全等三角形的性质及三角形外角性质的综合运用.

四、直角三角形

1、直角三角形全等的判定:

斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).

2、直角三角形的性质:

(1)两个定理:

定理1:直角三角形的两个锐角互余;

定理2:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

(2)两个推论:

推论1:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半;

推论2:在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°.

3、勾股定理

(1)如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c,那么一定有:

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

(2)勾股定理逆定理:如果三角形的三边满足:

那么三角形是直角三角形.

【答案】45°.

【解析】

AB=2AC,∠ACB=90°,

∴∠ABC=30°.

又∵CD为中线 ,

BD = CD

∴∠BDC=120°.

又∵BE平分∠ABC ,  

∴∠DBE=15°,

∴∠DEB=180°-∠BDCDBE=45°.

【总结】本题主要考查直角三角形的性质定理的推论及三角形内角和的综合运用.

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