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知识:六法搞定二次函数解析式的确定

          二次函数在初中数学的知识体系中算得上是一个重要内容, 而在高中数学中只能算得上一个重要的基础知识了,因而起到了一个“承上启下”的作用,所以学好二次函数的相关知识至关重要;我们常见的二次函数解析式主要分为:① 一般式;② 顶点式;③ 交点式(两根式);三种表示形式,针对于一些特殊情况我们可以利用二次函数的另外三种:④对称式法;⑤待定系数法;⑥平移法;来更快的确定出二次函数的解析式;因而前三种常见的二次函数解析式需要牢记掌握,后三种侧重于方法类,需要灵活进行运用即可.

1.一般式:y=ax²+bx+c(a≠0)

如果已知二次函数的图象上的三个点的坐标(或称函数的三对对应值)(x₁,y₁)、 (x₂,y₂) 、(x₃,y₃),那么我们可以直接借助方程组:

就可以唯一确定a、b、c的值,从而求得函数解析式 y=ax²+bx+c(a≠0)

总结:      

①任何二次函数都可以整理成一般式y=ax²+bx+c(a≠0)的形式.
②已知任意3点坐标,可用一般式联立方程组求解二次函数解析式.

2.顶点式:y=a(x-h)²+k (a≠0)

我们可以首先由二次函数的一般式 y=ax²+bx+c(a≠0)进行配方得:

总结:       

①已知顶点坐标或对称轴时,可用顶点式求解二次函数解析式.
②已知二次函数的顶点和图象上的任意一点,都可以用顶点式来确定解析式.

3.交点式:y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0)

我们可以根据二次函数的一般式结合配方法推导出二次函数的交点式或者说是两根式:

注意:这里 x₁,x₂,分别是一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个根.

所以针对于题目中已知二次函数的图象与x轴有交点(或者说对应的一元二次方程
ax²+bx+c=0(a≠0)有实根)时,此时我们就可以令函数解析式为y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0),从而求得此函数的解析式.

总结:          

①已知抛物线与x轴的两个交点坐标,可用交点式求解二次函数解析式.
②已知二次函数与x轴的交点坐标,和图象上任意一点时,可用交点式求解二次函数解析式.
③已知二次函数与x轴的交点坐标(x₁,0),(x₂,0),可知二次函数的对称轴为x=( x₁+x₂ )÷2.
④根据二次函数的对称性可知,对于函数图象上的两点(x₁,0),(x₂,0),如果它们有相同的纵坐标,则可知二次函数的对称轴为 x=( x₁+x₂ )÷2.
⑤同时针对于任意的二次函数 y=ax²+bx+c(a≠0)我们可以进行如下推导:

4.对称式: y=a(x-x₁)(x-x₂) +k (a≠0)

总结:         

当抛物线经过点(x₁,k),(x₂,k) 时,我们可以直接设出对称式:
y=a(x-x₁)(x-x₂) +k (a≠0) ,然后再将另一个坐标代入式子中,求出a的值即可确定二次函数的解析式.

注意:            

任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即b²-4ac≥0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示,同时要注意任意二次函数的解析式这三种基本形式都是可以互化的.

5.待定系数法确定解析式

6.平移法确定解析式

(1)化成顶点式后平移:

①先利用配方法把二次函数化成 y=a(x-h)²+k (a≠0) 的形式,接着再利用顶点的平移来确定新的顶点坐标,然后再写出新的函数解析式即可.
②最后在原有函数的基础遵从“左加右减,上加下减”的规则进行平移即可解答.

(2)对一般式直接平移:

对于任意的二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的平移,也都可以直接用“左加右减,上加下减”来进行平移.

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