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初中数学:一元二次方程的公共根相关问题知识探究

       我在之前的文章中说过关于一元二次方程的特殊根问题可以分为两大题型:①一元二次方程的整数根问题;②一元二次方程的公共根问题;而在之前的文章中我也分享过了这部分内容【一元二次方程的整数根问题】,感兴趣的可以点击进行查看,今天正好闲着也就来写一下第二个类型,来讲解一下第二个题型关于一元二次方程的公共根的相关问题,也算强制自己来总结一下理一理思路吧!


解题思路:

     照常先来说一下这部分知识的解答思路,总的来说就是要理解“公共根”的含义,既然是“公共根”就不可避免的要想到“谁和谁公共”,也就会发现如果题干考察这部分的知识必然是要出现至少两个一元二次方程才有可能出现“公共”的含义,这部分可以和学生进行说明,紧接着来说明一下公共根的概念:若干个一元二次方程有公共根,让我们求方程系数的相关问题,我们称之为一元二次方程的公共根问题.

接着我们来说明一下常规的关于两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤:

⑴可以先假设出一个公共根为a,则这个公共根a同时满足这两个一元二次方程表达式;

⑵紧接着再用加减法消去a2的项,求出公共根或公共根的有关表达式;

⑶最后把公共根代入到原方程中的任何一个方程中(可以比较一下两个方程那个更简单),就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式进而解决问题.


例题分析:

【例1】已知两方程\({{x}^{2}}+mx+n=0\),\({{x}^{2}}+nx+m=0\)有且仅有一个公共根,求\(m\),\(n\)关系.

【解析】 设\(a\)为两方程公共根,则:

\(\left\{ \begin{align}
& {{a}^{2}}+ma+n=0①\ \\
& {{a}^{2}}+na+m=0②\ \\
\end{align} \right.\)

①\(-\)②得\(\left( m-n \right)a+\left( n-m \right)=0\)
\(\left( m-n \right)\left( a-1 \right)=0\)

∵有且只有一个公共根,则\(m-n\ne 0\)

∴\(a=1,\)即\(x=1\)

将\(x=1\)代入,\(m+n=-1\)且\(m\ne n\).


【例2】已知\(a>2\),\(b > 2\),试判断关于\(x\)的方程\({x^2} – (a + b)x + ab = 0\)与\({x^2} – abx + (a + b) = 0\)有没有公共根,请说明理由.

【解析】不妨先设关于\(x\)的方程\({x^2} – (a + b)x + ab = 0\)与\({x^2} – abx + (a + b) = 0\)有公共根;

设为\({x_0}\),则有\(\left\{ \begin{array}{l}x_0^2 – (a + b){x_0} + ab = 0\;\;\;\\x_0^2 – ab{x_0} + (a + b) = 0\;\;\;\end{array} \right.\)

整理,可得\(({x_0} + 1)(a + b – ab) = 0\)

∵\(a > 2\),\(b > 2\),

∴\(a + b \ne ab\),

∴\({x_0} = – 1\)

把\({x_0} = – 1\)代入①得,\(1 + a + b + ab = 0\)这是不可能的;

所以,关于\(x\)的两个方程没有公共根.


【例3】已知关于\(x\)的一元二次方程\(a{x^2} + 2bx + c = 0\left( {a > 0} \right)\)①.

⑴ 若方程①有一个正实根\(c\),且\(2ac + b < 0\).求\(b\)的取值范围;

⑵ 当\(a = 1\)时,方程①与关于\(x\)的方程\(4{x^2} + 4bx + c = 0\)②有一个相同的非零实根,求\(\dfrac{{8{b^2} – c}}{{8{b^2} + c}}\)的值.

【解析】⑴ ∵\(c\)为方程的一个正实根\(\left( {c > 0} \right)\),

∴\(a{c^2} + 2bc + c = 0\).

∵\(c > 0\),

∴\(ac + 2b + 1 = 0\),即\(ac = – 2b – 1\).

∵\(2ac + b < 0\),

∴\(2( – 2b – 1) + b < 0\).

解得\(b > – \frac{2}{3}\).

又\(ac > 0\)(由\(a > 0\),\(c > 0\)).

∴\( – 2b – 1 > 0\).

解得 \(b < – \frac{1}{2}\).

∴\( – \frac{2}{3} < b < – \frac{1}{2}\).

⑵ 当\(a = 1\)时,此时方程①为\({x^2} + 2bx + c = 0\).

设方程①与方程②的相同实根为m,

∴\({m^2} + 2bm + c = 0\)③

∴\(4{m^2} + 4bm + c = 0\)④

④\( – \)③得 \(3{m^2} + 2bm = 0\)

整理,得 \(m(3m + 2b) = 0\)

∵\(m \ne 0\)

∴\(3m + 2b = 0\)

解得\(m = – \frac{{2b}}{3}\)

把\(m = – \frac{{2b}}{3}\)代入方程③得 \({\left( { – \frac{2}{3}b} \right)^2} + 2b\left( { – \frac{2}{3}b} \right) + c = 0\)

∴\( – \frac{{8{b^2}}}{9} + c = 0\),即\(8{b^2} = 9c\).

当\(8{b^2} = 9c\)时,\(\dfrac{{8{b^2} – c}}{{8{b^2} + c}} = \dfrac{4}{5}\).

注意:此题的第二问还可以用含b、c的式子表示\(m\),直接代入进行解答也可以,而此题的易错点唯第一问的b的取值范围的求解容易忽略了\(b < – \dfrac{1}{2}\)这个答案造成解答错误.


2019.4.24


Math实验室

目前为止有一条评论

dudu发布于 4:47 下午 - 9月 29, 2020

关于一元二次整数根和一元二次方程公共根两篇文章整理得比较精辟,学了啦。。。

有一个疑惑,在遇到这些题型时,有时想到的条件不等式不全面或不严密。比如上述的例3,想到的b的取值范围小于0,恒等变形没有想到。还有整数根用韦达定理时,是需要考虑两根之和和两根之积都要考虑吗?还是选取其中一项即可。都要考虑,有时要分很多种讨论,考虑一个有怕漏了什么条件?

是否可以解答一下?

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