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2019年中考复习:分式方程应用题专题讲义-2018年中考数学分式汇编

41.(2018•盘锦)东东玩具商店用500元购进一批悠悠球,很受中小学生欢迎,悠悠球很快售完,接着又用900元购进第二批这种悠悠球,所购数量是第一批数量的1.5倍,但每套进价多了5元.

(1)求第一批悠悠球每套的进价是多少元;

(2)如果这两批悠悠球每套售价相同,且全部售完后总利润不低于\(25\% \),那么每套悠悠球的售价至少是多少元?

\({\color{red}{【解答】}}\)解:(1)设第一批悠悠球每套的进价是\(x\)元,则第二批悠悠球每套的进价是\((x + 5)\)元,

根据题意得:\(\frac{{900}}{{x + 5}} = 1.5 \times \frac{{500}}{x}\),

解得:\(x = 25\),

经检验,\(x = 25\)是原分式方程的解.

答:第一批悠悠球每套的进价是25元.

(2)设每套悠悠球的售价为\(y\)元,

根据题意得:\(500\div 25\times (1+1.5)y-500-900\geq (500+900)\times 25%\),

解得:\(y\geq 35\).

答:每套悠悠球的售价至少是35元.

\({\color{red}{【总结】}}\)本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.

42.(2018•山西)2018年1月20日,山西迎来了“复兴号”列车,与“和谐号”相比,“复兴号”列车时速更快,安全性更好.已知“太原南\( – \)北京西”全程大约500千米,“复兴号” \(G92\)次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米,其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的\(\frac{4}{5}\)(两列车中途停留时间均除外).经查询,“复兴号” \(G92\)次列车从太原南到北京西,中途只有石家庄一站,停留10分钟.求乘坐“复兴号” \(G92\)次列车从太原南到北京西需要多长时间.

\({\color{red}{【解答】}}\)解:设“复兴号” \(G92\)次列车从太原南到北京西的行驶时间需要\(x\)小时,则“和谐号”列车的行驶时间需要\(\frac{5}{4}x\)小时,

根据题意得:\(\frac{{500}}{x} = \frac{{500}}{{\frac{5}{4}x}} + 40\),

解得:\(x = \frac{5}{2}\),

经检验,\(x = \frac{5}{2}\)是原分式方程的解,

∴\( x + \frac{1}{6} = \frac{8}{3}\).

答:乘坐“复兴号” \(G92\)次列车从太原南到北京西需要\(\frac{8}{3}\)小时.

\({\color{red}{【总结】}}\)本题考查了分式方程的应用,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.

43.(2018•桂林)某校利用暑假进行田径场的改造维修,项目承包单位派遣一号施工队进场施工,计划用40天时间完成整个工程:当一号施工队工作5天后,承包单位接到通知,有一大型活动要在该田径场举行,要求比原计划提前14天完成整个工程,于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程,结果按通知要求如期完成整个工程.

(1)若二号施工队单独施工,完成整个工程需要多少天?

(2)若此项工程一号、二号施工队同时进场施工,完成整个工程需要多少天?

\({\color{red}{【解答】}}\)解:(1)设二号施工队单独施工需要\(x\)天,

根据题意得:\(\frac{{40 – 14}}{{40}} + \frac{{40 – 5 – 14}}{x} = 1\),

解得:\(x = 60\),

经检验,\(x = 60\)是原分式方程的解.

答:若由二号施工队单独施工,完成整个工期需要60天.

(2)根据题意得:\(1 \div (\frac{1}{{40}} + \frac{1}{{60}}) = 24\)(天\()\).

答:若由一、二号施工队同时进场施工,完成整个工程需要24天.

\({\color{red}{【总结】}}\)本题考查了分式方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)根据数量关系,列式计算.

44.(2018•宁波)某商场购进甲、乙两种商品,甲种商品共用了2000元,乙种商品共用了2400元.已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元,且购进的甲、乙两种商品件数相同.

(1)求甲、乙两种商品的每件进价;

(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售,甲种商品的销售单价为60元,乙种商品的销售单价为88元,销售过程中发现甲种商品销量不好,商场决定:甲种商品销售一定数量后,将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售;乙种商品销售单价保持不变.要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元,问甲种商品按原销售单价至少销售多少件?

\({\color{red}{【解答】}}\)解:(1)设甲种商品的每件进价为\(x\)元,则乙种商品的每件进价为\((x + 8)\)元.

根据题意,得,\(\frac{{2000}}{x} = \frac{{2400}}{{x + 8}}\),

解得\(x = 40\).

经检验,\(x = 40\)是原方程的解.

答:甲种商品的每件进价为40元,乙种商品的每件进价为48元;

(2)甲乙两种商品的销售量为\(\frac{{2000}}{{40}} = 50\).

设甲种商品按原销售单价销售\(a\)件,则

\((60-40)a+(60\times 0.7-40)(50-a)+(88-48)\times 50\geq 2460\),

解得\(a\geq 20\).

答:甲种商品按原销售单价至少销售20件.

\({\color{red}{【总结】}}\)本题考查了分式方程的应用,一元一次不等式的应用.本题属于商品销售中的利润问题,对于此类问题,隐含着一个等量关系:利润\( = \)售价\( – \)进价.

45.(2018•邵阳)某公司计划购买\(A\),\(B\)两种型号的机器人搬运材料.已知\(A\)型机器人比\(B\)型机器人每小时多搬运\(30kg\)材料,且\(A\)型机器人搬运\(1000kg\)材料所用的时间与\(B\)型机器人搬运\(800kg\)材料所用的时间相同.

(1)求\(A\),\(B\)两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料;

(2)该公司计划采购\(A\),\(B\)两种型号的机器人共20台,要求每小时搬运材料不得少于\(2800kg\),则至少购进\(A\)型机器人多少台?

\({\color{red}{【解答】}}\)解:(1)设\(B\)型机器人每小时搬运\(x\)千克材料,则\(A\)型机器人每小时搬运\((x + 30)\)千克材料,

根据题意,得\(\frac{{1000}}{{x + 30}} = \frac{{800}}{x}\),

解得\(x = 120\).

经检验,\(x = 120\)是所列方程的解.

当\(x = 120\)时,\(x + 30 = 150\).

答:\(A\)型机器人每小时搬运150千克材料,\(B\)型机器人每小时搬运120千克材料;

(2)设购进\(A\)型机器人\(a\)台,则购进\(B\)型机器人\((20 – a)\)台,

根据题意,得\(150a+120(20-a)\geq 2800\),

解得\(a\geq \frac{40}{3}\).

∵\( a\)是整数,

∴\( a\geq 14\).

答:至少购进\(A\)型机器人14台.

\({\color{red}{【总结】}}\)本题考查了分式方程的运用,一元一次不等式的运用,解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,进而找到所求的量的数量关系.

46.(2018•泰州)为了改善生态环境,某乡村计划植树4000棵.由于志愿者的支援,实际工作效率提高了\(20\% \),结果比原计划提前3天完成,并且多植树80棵,原计划植树多少天?

\({\color{red}{【解答】}}\)解:设原计划每天种\(x\)棵树,则实际每天种\((1 + 20\% )x\)棵,

依题意得:\(\frac{{4000}}{x} – \frac{{4000 + 80}}{{(1 + 20\% )x}} = 3\)

解得\(x = 200\),

经检验得出:\(x = 200\)是原方程的解.

所以\(\frac{{4000}}{{200}} = 20\).

答:原计划植树20天.

\({\color{red}{【总结】}}\)此题主要考查了分式方程的应用,正确理解题意,找出题目中的等量关系,列出方程是解题关键.

47.(2018•抚顺)为落实“美丽抚顺”的工作部署,市政府计划对城区道路进行改造,现安排甲、乙两个工程队完成.已知甲队的工作效率是乙队工作效率的\(\frac{3}{2}\)倍,甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天.

(1)甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米?

(2)若甲队工作一天需付费用7万元,乙队工作一天需付费用5万元,如需改造的道路全长1200米,改造总费用不超过145万元,至少安排甲队工作多少天?

\({\color{red}{【解答】}}\)解:(1)设乙工程队每天能改造道路的长度为\(x\)米,则甲工程队每天能改造道路的长度为\(\frac{3}{2}x\)米,

根据题意得:\(\frac{{360}}{x} – \frac{{360}}{{\frac{3}{2}x}} = 3\),

解得:\(x = 40\),

经检验,\(x = 40\)是原分式方程的解,且符合题意,

∴\( \)\(\frac{3}{2}x = \frac{3}{2} \times 40 = 60\).

答:乙工程队每天能改造道路的长度为40米,甲工程队每天能改造道路的长度为60米.

(2)设安排甲队工作\(m\)天,则安排乙队工作\(\frac{{1200 – 60m}}{{40}}\)天,

根据题意得:\(7m+5\times \frac{1200-60m}{40}\leq 145\),

解得:\(m\geq 10\).

答:至少安排甲队工作10天.

\({\color{red}{【总结】}}\)本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)根据各数量间的关系,正确列出一元一次不等式.

48.(2018•玉林)山地自行车越来越受中学生的喜爱.一网店经营的一个型号山地自行车,今年一月份销售额为30000元,二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元,若销售的数量与上一月销售的数量相同,则销售额是27000元.

(1)求二月份每辆车售价是多少元?

(2)为了促销,三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了\(10\% \)销售,网店仍可获利\(35\% \),求每辆山地自行车的进价是多少元?

\({\color{red}{【解答】}}\)解:(1)设二月份每辆车售价为\(x\)元,则一月份每辆车售价为\((x + 100)\)元,

根据题意得:\(\frac{{30000}}{{x + 100}} = \frac{{27000}}{x}\),

解得:\(x = 900\),

经检验,\(x = 900\)是原分式方程的解.

答:二月份每辆车售价是900元.

(2)设每辆山地自行车的进价为\(y\)元,

根据题意得:\(900 \times (1 – 10\% ) – y = 35\% y\),

解得:\(y = 600\).

答:每辆山地自行车的进价是600元.

\({\color{red}{【总结】}}\)本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)找准等量关系,正确列出一元一次方程.

49.(2018•宁夏)某工厂计划生产一种创新产品,若生产一件这种产品需\(A\)种原料1.2千克、\(B\)种原料1千克.已知\(A\)种原料每千克的价格比\(B\)种原料每千克的价格多10元.

(1)为使每件产品的成本价不超过34元,那么购入的\(B\)种原料每千克的价格最高不超过多少元?

(2)将这种产品投放市场批发销售一段时间后,为拓展销路又开展了零售业务,每件产品的零售价比批发价多30元.现用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同,那么这种产品的批发价是多少元?

\({\color{red}{【解答】}}\)解:(1)设\(B\)种原料每千克的价格为\(x\)元,则\(A\)种原料每千克的价格为\((x + 10)\)元,

根据题意得:\(1.2(x+10)+x\leq 34\),

解得:\(x\leq 10\).

答:购入\(B\)种原料每千克的价格最高不超过10元.

(2)设这种产品的批发价为\(a\)元,则零售价为\((a + 30)\)元,

根据题意得:\(\frac{{10000}}{a} = \frac{{16000}}{{a + 30}}\),

解得:\(a = 50\),

经检验,\(a = 50\)是原方程的根,且符合实际.

答:这种产品的批发价为50元.

\({\color{red}{【总结】}}\)本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)根据各数量间的关系,正确列出一元一次不等式;(2)找准等量关系,正确列出分式方程.

50.(2018•广安)某车行去年\(A\)型车的销售总额为6万元,今年每辆车的售价比去年减少400元.若卖出的数量相同,销售总额将比去年减少\(20\% \).

(1)求今年\(A\)型车每辆车的售价.

(2)该车行计划新进一批\(A\)型车和\(B\)型车共45辆,已知\(A\)、\(B\)型车的进货价格分别是1100元、1400元,今年\(B\)型车的销售价格是2000元,要求\(B\)型车的进货数量不超过\(A\)型车数量的两倍,应如何进货才能使这批车获得最大利润,最大利润是多少?

\({\color{red}{【解答】}}\)解:(1)设今年\(A\)型车每辆售价为\(x\)元,则去年每辆售价为\((x + 400)\)元,

根据题意得:\(\frac{{60000}}{{x + 400}} = \frac{{60000 \times (1 – 20\% )}}{x}\),

解得:\(x = 1600\),

经检验,\(x = 1600\)是原分式方程的解,

∴\( \)今年\(A\)型车每辆车售价为1600元.

(2)设今年新进\(A\)型车\(a\)辆,销售利润为\(y\)元,则新进\(B\)型车\((45 – a)\)辆,

根据题意得:\(y = (1600 – 1100)a + (2000 – 1400)(45 – a) =  – 100a + 27000\).

∵\( B\)型车的进货数量不超过\(A\)型车数量的两倍,

∴\( 45-a\leq 2a\),解得:\(a\geq 15\).

∵\( -100<0\),

∴\( y\)随\(a\)的增大而减小,

∴\( \)当\(a = 15\)时,\(y\)取最大值,最大值\( =  – 100 \times 15 + 27000 = 25500\),此时\(45 – a = 30\).

答:购进15辆\(A\)型车、30辆\(B\)型车时销售利润最大,最大利润是25500元.

\({\color{red}{【总结】}}\)本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)利用一次函数的性质求出最大利润.

2019.3.27




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