二．填空题（共6小题）
32．下面是按一定规律排列的代数式：\({a^2}\)，\(3{a^4}\)，\(5{a^6}\)，\(7{a^8}\)，\( \ldots \)则第8个代数式是 \(15{a^{16}}\) ．
\({\color{red}{【解答】}}\)解：∵\( a^{2}\)，\(3{a^4}\)，\(5{a^6}\)，\(7{a^8}\)，\( \ldots \)
∴\( \)单项式的次数是连续的偶数，系数是连续的奇数，
∴\( \)第8个代数式是：\((2 \times 8 – 1){a^{2 \times 8}} = 15{a^{16}}\)．
故答案为：\(15{a^{16}}\)．
\({\color{red}{【总结】}}\)此题主要考查了单项式，正确得出单项式次数与系数的变化规律是解题关键．
33．已知\(m + n = 12\)，\(m – n = 2\)，则\({m^2} – {n^2} = \) 24 ．
\({\color{red}{【解答】}}\)解：∵\( m+n=12\)，\(m – n = 2\)，
∴\( {m^2} – {n^2} = (m + n)(m – n) = 2 \times 12 = 24\)，
故答案为：24
\({\color{red}{【总结】}}\)此题考查平方差公式，关键是根据平方差公式的形式解答．
34．若\({2^x} = 5\)，\({2^y} = 3\)，则\({2^{2x + y}} = \) 75 ．
\({\color{red}{【解答】}}\)解：∵\( 2^{x}=5\)，\({2^y} = 3\)，
∴\( {2^{2x + y}} = {({2^x})^2} \times {2^y} = {5^2} \times 3 = 75\)．
故答案为：75．
\({\color{red}{【总结】}}\)此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
35．已知\(m + n = mn\)，则\((m – 1)(n – 1) = \) 1 ．
\({\color{red}{【解答】}}\)解：\((m – 1)(n – 1) = mn – (m + n) + 1\)，
∵\( m+n=mn\)，
∴\( (m – 1)(n – 1) = mn – (m + n) + 1 = 1\)，
故答案为1．
\({\color{red}{【总结】}}\)本题主要考查了整式的化简求值的知识，解答本题的关键是掌握多项式乘以多项式的运算法则，此题难度不大．
36．计算：\({(a + 1)^2} – {a^2} = \) \(2a + 1\) ．
\({\color{red}{【解答】}}\)解：原式\( = {a^2} + 2a + 1 – {a^2} = 2a + 1\)，
故答案为：\(2a + 1\)
\({\color{red}{【总结】}}\)此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
37．已知\({a^m} = 3\)，\({a^n} = 2\)，则\({a^{2m – n}}\)的值为 4.5 ．
\({\color{red}{【解答】}}\)解：∵\( a^{m}=3\)，
∴\( {a^{2m}} = {3^2} = 9\)，
∴\( {a^{2m – n}} = \frac{{{a^{2m}}}}{{{a^n}}} = \frac{9}{2} = 4.5\)．
故答案为：4.5．
\({\color{red}{【总结】}}\)此题主要考查了同底数幂的除法法则，以及幂的乘方与积的乘方，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数\(a \ne 0\)，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数\(a\)可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
三．解答题（共13小题）
38．先化简，再求值：\({(x – 1)^2} + x(3 – x)\)，其中\(x = – \frac{1}{2}\)．
\({\color{red}{【解答】}}\)解：原式\( = {x^2} – 2x + 1 + 3x – {x^2} = x + 1\)，
当\(x = – \frac{1}{2}\)时，原式\( = – \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}\)．
\({\color{red}{【总结】}}\)此题主要考查了整式的混合运算\( – – \)化简求值，关键是先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
39．化简：\((y + 2)(y – 2) – (y – 1)(y + 5)\)．
\({\color{red}{【解答】}}\)解：原式\( = {y^2} – 4 – {y^2} – 5y + y + 5 = – 4y + 1\)，
\({\color{red}{【总结】}}\)此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
40．已知：\({x^2} – {y^2} = 12\)，\(x + y = 3\)，求\(2{x^2} – 2xy\)的值．
\({\color{red}{【解答】}}\)解：∵\( x^{2}-y^{2}=12\)，
∴\( (x + y)(x – y) = 12\)，
∵\( x+y=3\)①，
∴\( x – y = 4\)②，
①\( + \)②得，\(2x = 7\)，
∴\( 2{x^2} – 2xy = 2x(x – y) = 7 \times 4 = 28\)．
\({\color{red}{【总结】}}\)此题主要考查了平方差公式，二元一次方程的解法，求出\(x – y = 4\)是解本题的关键．
41．某同学化简\(a(a + 2b) – (a + b)(a – b)\)出现了错误，解答过程如下：
原式\( = {a^2} + 2ab – ({a^2} – {b^2})\) （第一步）
\( = {a^2} + 2ab – {a^2} – {b^2}\)（第二步）
\( = 2ab – {b^2}\) （第三步）
（1）该同学解答过程从第 二 步开始出错，错误原因是 ；
（2）写出此题正确的解答过程．
\({\color{red}{【解答】}}\)解：（1）该同学解答过程从第 二步开始出错，错误原因是 去括号时没有变号；
故答案是：二；去括号时没有变号；
（2）原式\( = {a^2} + 2ab – ({a^2} – {b^2})\)
\( = {a^2} + 2ab – {a^2} + {b^2}\)
\( = 2ab + {b^2}\)．
\({\color{red}{【总结】}}\)考查了平方差公式和实数的运算，去括号规律：①\(a + (b + c) = a + b + c\)，括号前是“\( + \)”号，去括号时连同它前面的“\( + \)”号一起去掉，括号内各项不变号；②\(a – (b – c) = a – b + c\)，括号前是“\( – \)”号，去括号时连同它前面的“\( – \)”号一起去掉，括号内各项都要变号．
42．先化简，再求值：\(a(a + 2b) – {(a + 1)^2} + 2a\)，其中\(a = \sqrt 2 + 1,b = \sqrt 2 – 1\)．
\({\color{red}{【解答】}}\)解：原式\( = {a^2} + 2ab – ({a^2} + 2a + 1) + 2a\)
\( = {a^2} + 2ab – {a^2} – 2a – 1 + 2a\)
\( = 2ab – 1\)，
当\(a = \sqrt 2 + 1,b = \sqrt 2 – 1\)时，
原式\( = 2(\sqrt 2 + 1)(\sqrt 2 – 1) – 1\)
\( = 2 – 1\)
\( = 1\)．
\({\color{red}{【总结】}}\)本题考查了整式的混合运算\(-\)化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
43．先化简，再求值：\((a – 2b)(a + 2b) – {(a – 2b)^2} + 8{b^2}\)，其中\(a = – 2\)，\(b = \frac{1}{2}\)．
\({\color{red}{【解答】}}\)解：原式\( = {a^2} – 4{b^2} – {a^2} + 4ab – 4{b^2} + 8{b^2} = 4ab\)，
当\(a = – 2\)，\(b = \frac{1}{2}\)时，原式\( = – 4\)．
\({\color{red}{【总结】}}\)此题考查了整式的混合运算\( – \)化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
44．先化简，再求值：\((x + 2)(x – 2) + x(1 – x)\)，其中\(x = – 1\)．
\({\color{red}{【解答】}}\)解：原式\( = {x^2} – 4 + x – {x^2} = x – 4\)，
当\(x = – 1\)时，原式\( = – 5\)．
\({\color{red}{【总结】}}\)此题考查了整式的混合运算\( – \)化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
45．先化简，再求值：\({(a + b)^2} + b(a – b) – 4ab\)，其中\(a = 2\)，\(b = – \frac{1}{2}\)．
\({\color{red}{【解答】}}\)解：原式\( = {a^2} + 2ab + {b^2} + ab – {b^2} – 4ab = {a^2} – ab\)，
当\(a = 2\)，\(b = – \frac{1}{2}\)时，原式\( = 4 + 1 = 5\)．
\({\color{red}{【总结】}}\)此题主要考查了整式的混合运算\( – – \)化简求值，关键是先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
46．有一张边长为\(a\)厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加\(b\)厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：\({a^2} + 2ab + {b^2} = {(a + b)^2}\)，
对于方案一，小明是这样验证的：
\({a^2} + ab + ab + {b^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} = {(a + b)^2}\)
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
\({\color{red}{【解答】}}\)解：由题意可得，
方案二：\({a^2} + ab + (a + b)b = {a^2} + ab + ab + {b^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} = {(a + b)^2}\)，
方案三：\({a^2} + \frac{{[a + (a + b)]b}}{2} + \frac{{[a + (a + b)]b}}{2} = {a^2} + ab + \frac{1}{2}{b^2} + ab + \frac{1}{2}{b^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} = {(a + b)^2}\)．
\({\color{red}{【总结】}}\)本题考查完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程．
47．先化简， 再求值：\((2m + 1)(2m – 1) – {(m – 1)^2} + {(2m)^3} \div ( – 8m)\)，其中\(m\)是方程\({x^2} + x – 2 = 0\)的根
\({\color{red}{【解答】}}\)解： 原式\( = 4{m^2} – 1 – ({m^2} – 2m + 1) + 8{m^3} \div ( – 8m)\)
\( = 4{m^2} – 1 – {m^2} + 2m – 1 – {m^2}\)
\( = 2{m^2} + 2m – 2\)
\( = 2({m^2} + m – 1)\)，
∵\( m\)是方程\({x^2} + x – 2 = 0\)的根，
∴\( {m^2} + m – 2 = 0\)，即\({m^2} + m = 2\)，
则原式\( = 2 \times (2 – 1) = 2\)．
\({\color{red}{【总结】}}\)本题主要考查整式的化简求值， 解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式、 整式的混合运算顺序和运算法则、 方程的解的定义 ．
48．先化简，再求值：\((x + 1)(x – 1) + {(2x – 1)^2} – 2x(2x – 1)\)，其中\(x = \sqrt 2 + 1\)．
\({\color{red}{【解答】}}\)解：原式\( = {x^2} – 1 + 4{x^2} – 4x + 1 – 4{x^2} + 2x\)
\( = {x^2} – 2x\)，
把\(x = \sqrt 2 + 1\)代入，得：
原式\( = {(\sqrt 2 + 1)^2} – 2(\sqrt 2 + 1)\)
\( = 3 + 2\sqrt 2 – 2\sqrt 2 – 2\)
\( = 1\)．
\({\color{red}{【总结】}}\)本题考查了整式的混合运算及化简求值，做好本题要熟练掌握多项式乘以多项式的法则和整式乘法公式，此类题的思路为：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
49．阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔\((J\)．\(Nplcr\)，\(1550 – 1617\)年），纳皮尔发明
对数是在指数书写方式之前，直到 18 世纪瑞士数学家欧拉\((Evlcr\)，\(1707 – 1783\)
年）才发现指数与对数之间的联系 ．
对数的定义： 一般地， 若\({a^x} = N(a > 0,a \ne 1)\)，那么\(x\)叫做以\(a\)为底\(N\)的对数，
记作：\(x = {\log _a}N\)． 比如指数式\({2^4} = 16\)可以转化为\(4 = {\log _2}16\)，对数式\(2 = {\log _5}25\)
可以转化为\({5^2} = 25\)．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
\(\log _{a}(M· N)=\log _{a}M+\log _{a}N(a>0\)，\(a \ne 1\)，\(M > 0\)，\(N > 0)\)；理由如下：
设\({\log _a}M = m\)，\({\log _a}N = n\)，则\(M = {a^m}\)，\(N = {a^n}\)
∴\( M· N=a^{m}· a^{n}=a^{m+n}\)，由对数的定义得\(m+n=\log _{a}(M· N)\)
又∵\( m+n=\log _{a}M+\log _{a}N\)
∴\( \log _{a}(M· N)=\log _{a}M+\log _{a}N\)
解决以下问题：
（1） 将指数\({4^3} = 64\)转化为对数式 \(3 = {\log _4}64\) ；
（2） 证明\({\log _a}\frac{M}{N} = {\log _a}M – {\log _a}N(a > 0\)，\(a \ne 1\)，\(M > 0\)，\(N > 0)\)
（3） 拓展运用： 计算\({\log _3}2 + {\log _3}6 – {\log _3}4 = \) ．
\({\color{red}{【解答】}}\)解： （1） 由题意可得， 指数式\({4^3} = 64\)写成对数式为：\(3 = {\log _4}64\)，
故答案为：\(3 = {\log _4}64\)；
（2） 设\({\log _a}M = m\)，\({\log _a}N = n\)，则\(M = {a^m}\)，\(N = {a^n}\)，
∴\( \)\(\frac{M}{N} = \frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m – n}}\)，由对数的定义得\(m – n = {\log _a}\frac{M}{N}\)，
又∵\( m-n=\log _{a}M-\log _{a}N\)，
∴\( {\log _a}\frac{M}{N} = {\log _a}M – {\log _a}N(a > 0\)，\(a \ne 1\)，\(M > 0\)，\(N > 0)\)；
（3）\({\log _3}2 + {\log _3}6 – {\log _3}4\)，
\( = {\log _3}(2 \times 6 \div 4)\)，
\( = {\log _3}3\)，
\( = 1\)，
故答案为： 1 ．
\({\color{red}{【总结】}}\)本题考查整式的混合运算、 对数与指数之间的关系与相互转化的关系， 解题的关键是明确新定义， 明白指数与对数之间的关系与相互转化关系 ．
50．嘉淇准备完成题目：
发现系数“□”印刷不清楚．
（1）他把“□”猜成3，请你化简：\((3{x^2} + 6x + 8) – (6x + 5{x^2} + 2)\)；
（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“□”是几？
\({\color{red}{【解答】}}\)解：（1）\((3{x^2} + 6x + 8) – (6x + 5{x^2} + 2)\)
\( = 3{x^2} + 6x + 8 – 6x – 5{x^2} – 2\)
\( = – 2{x^2} + 6\)；
（2）设“□”是\(a\)，
则原式\( = (a{x^2} + 6x + 8) – (6x + 5{x^2} + 2)\)
\( = a{x^2} + 6x + 8 – 6x – 5{x^2} – 2\)
\( = (a – 5){x^2} + 6\)，
∵\(\)标准答案的结果是常数，
∴\( a – 5 = 0\)，
解得：\(a = 5\)．
\({\color{red}{【总结】}}\)本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则．
2019.3.23
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