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2019年中考数学模块化复习:关于数与式专题复习讲义资料

例题解析

【例18】 (2015学年•闵行区二模•第1题)如果单项式\(2a{{}^{n}}{{b}^{2}}c\)是六次单项式,那么n的值取(    )

A.6

B.5

C.4

D.3

【答案】D

【解析】根据单项式的次数的概念,可得\(n+2+1=6\),得\(n=3\),故选D.

【总结】考查单项式的次数的概念,注意不要遗漏1次.

【例19】 (2014学年•金山区二模•第2题)下列代数式中是二次二项式的是(    )

A.\(xy-1\)

B.\(\frac{1}{{{x}^{2}}+1}\)

C.\({{x}^{2}}+x{{y}^{2}}\)

D.\(\sqrt{{{x}^{4}}+1}\)

【答案】A

【解析】二次二项式首先是整式,B、D错误;C是三次二项式,选A.

【总结】考查多项式的次数和项数的相关概念.

【例20】 (2015学年•崇明县二模•第7题)购买单价为a元的笔记本3本和单价为b元的铅笔5支应付款______元.

【答案】\(\left( 3a+5b \right)\).

【解析】根据总价=单价×数量,可知总花费为\(\left( 3a+5b \right)\)元,注意加上括号.

【总结】考查代数式的表示,注意一定要加上括号.

【例21】 (2014学年•静安区、青浦区二模•第2题)某公司三月份的产值为a万元,比二月份增长了m%,那么二月份的产值(单位:万元)为(    )

A.\(a(1+m%)\)

B.\(a(1-m%)\)

C.\(\frac{a}{1+m%}\)

D.\(\frac{a}{1-m%}\)

【答案】C

【解析】设二月份产值为\(x\)万元,则有\(( 1+m% )x=a\),解得:\(x=\frac{a}{1+m%}\),故选C.

【总结】考查分数中的单位“1”应用问题,可用设未知数进行求解计算.

【例22】 (2015学年•奉贤区二模•第2题)若x = 2,y =\(-1\),那么代数式\({{x}^{2}}+\text{2}xy+{{y}^{2}}\)的值是(    )

A.0

B.1

C.2

D.4

【答案】B

【解析】\({{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}={{\left( x+y \right)}^{2}}={{\left( 2-1 \right)}^{2}}=1\),故选B.

【总结】考查完全平方公式的应用,简化计算.

【例23】 (2015学年•静安区二模•第8题)下列计算结果正确的是(    )

A.\({{a}^{4}}· {{a}^{2}}={{a}^{8}}\)

B.\({{\left( {{a}^{4}} \right)}^{2}}={{a}^{6}}\)

C.\({{\left( ab \right)}^{2}}={{a}^{2}}{{b}^{2}}\)

D.\({{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}\)

【答案】C

【解析】对A选项,同底数幂的的乘法运算,\({{a}^{4}}\cdot {{a}^{2}}={{a}^{4+2}}={{a}^{6}}\),A错误;对B选项,幂的

乘方运算,\({{\left( {{a}^{4}} \right)}^{2}}={{a}^{4\times 2}}={{a}^{8}}\),B错误;对C选项,积的乘方运算,C正确;对D选项,

完全平方公式,\({{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\),D错误;故选C.

【总结】考查幂的运算.

【例24】 (1)(2015学年•闸北区二模•第7题)计算:\({{a}^{5}}\div {{a}^{2}}\)=______.

(2)(2015学年•徐汇区二模•第7题)计算:\(4{{a}^{3}}{{b}^{2}}\div 2ab=\)______.

(3)(2015学年•徐汇区二模•第8题)计算:\(2m(m-3)=\)______.

(4)(2014学年•长宁区、金山区二模•第8题)计算:\({{\left( -{{m}^{3}}n \right)}^{2}}\)=______.

【答案】(1)\({{a}^{3}}\);(2)\(2{{a}^{2}}b\);(3)\(2{{m}^{2}}-6m\);(4)\({{m}^{6}}{{n}^{2}}\).

【解析】(1)\({{a}^{5}}\div {{a}^{2}}={{a}^{5-2}}={{a}^{3}}\);   (2)\(4{{a}^{3}}{{b}^{2}}\div 2ab=\left( 4\div 2 \right){{a}^{3-1}}{{b}^{2-1}}=2{{a}^{2}}b\);

(3)\(2m(m-3)=2m\cdot m-2m\cdot 3=2{{m}^{2}}-6m\); (4)\({{\left( -{{m}^{3}}n \right)}^{2}}={{\left( {{m}^{3}} \right)}^{2}}\cdot {{n}^{2}}={{m}^{6}}{{n}^{2}}\).

【总结】考查幂的运算和整式的乘法计算.

【例25】 (1)(2015学年•闸北区二模•第8题)分解因式:\(3{{x}^{2}}-6x\)=______.

(2)(2015学年•长宁区、金山区二模•第8题)分解因式:\({{x}^{2}}-9{{y}^{2}}=\)______.

(3)(2015学年•普陀区二模•第7题)分解因式:\(m{{a}^{2}}-m{{b}^{2}}=\)______.

(4)(2015学年•奉贤区二模•第8题)分解因式:\({{x}^{2}}-2x-15\)=______.

【答案】(1)\(3x\left( x-2 \right)\);(2)\(\left( x+3y \right)\left( x-3y \right)\);(3)\(m\left( a+b \right)\left( a-b \right)\);(4)\(\left( x-5 \right)\left( x+3 \right)\).

【解析】(1)提公因式法:\(3{{x}^{2}}-6x=3x\left( x-2 \right)\);

(2)公式法,平方差公式:\({{x}^{2}}-9{{y}^{2}}={{x}^{2}}-{{\left( 3y \right)}^{2}}=\left( x+3y \right)\left( x-3y \right)\);

(3)先提公因式,后用平方差:\(m{{a}^{2}}-m{{b}^{2}}=m\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)=m\left( a+b \right)\left( a-b \right)\);

       (4)十字相乘法:\({{x}^{2}}-2x-15=\left( x-5 \right)\left( x+3 \right)\).

【总结】考查整式的因式分解,注意分解彻底和方法的合理选择.

【例26】 (2015学年•闸北区二模•第1题)下列代数式中,属于分式的是(    )

A.\(-3\)

B.\(\frac{1}{2}a-b\)

C.\(\frac{1}{x}\)

D.\(-4{{a}^{3}}b\)

【答案】C

【解析】根据分式的概念,分母含有未知数的代数式是分式,可知选C.

【总结】考查分式的概念.

【例27】 (2015学年•静安区二模•第8题)如果分式\(\frac{{{x}^{2}}-4}{x+2}\)的值为零,那么\(x\)的值为______.

【答案】2

【解析】分式值为0,则有

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 4 = 0\\x + 2 \ne 0\end{array} \right.\)

,解得:\(x=2\).

【总结】考查分式值为0的条件,注意分母一定不能为0.

【例28】 (1)(2015学年•杨浦区二模•第7题)计算:\(\frac{b}{a-b}+\frac{a}{b-a}=\)______.

(2)(2015学年•闸北区二模•第9题)化简分式:\(\frac{x-2}{{{x}^{2}}+x-6}\)=______.

【答案】(1)\(-1\);(2)\(\frac{1}{x+3}\).

【解析】(1)原式\(=\frac{b}{a-b}-\frac{a}{a-b}=\frac{b-a}{a-b}=\frac{-\left( a-b \right)}{a-b}=-1\);

   (2)原式\(=\frac{x-2}{\left( x+3 \right)\left( x-2 \right)}=\frac{1}{x+3}\).

【总结】考查分式的化简和加减计算.

【例29】 (2015学年•松江区二模•第2题)下列式子中,属于最简二次根式的是(    )

A.\(\sqrt{\frac{1}{2}}\)

B.\(\sqrt{8}\)

C.\(\sqrt{9}\)

D.\(\sqrt{7}\)

【答案】D

【解析】根号中不含有开方开的尽的数或字母的式子是最简二次根式,且不能含有分母,

    \(\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\),\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\),\(\sqrt{9}=3\),可知A、B、C都不是最简二次根式,选D.

【总结】考查最简二次根式的概念.

【例30】 (2015学年•奉贤区二模•第7题)化简:\(\sqrt{16a}\)=______.

【答案】\(4\sqrt{a}\).

【解析】\(\sqrt{16a}=\sqrt{16}\cdot \sqrt{a}=4\sqrt{a}\).

【总结】考查二次根式的化简计算.

【例31】 (2015学年•长宁区、金山区二模•第1题)在下列二次根式中,与\(\sqrt{2}\)是同类二次根式的是(    )

A.\(\sqrt{2a}\)

B.\(\sqrt{4}\)

C.\(\sqrt{8}\)

D.\(\sqrt{12}\)

【答案】C

【解析】根据同类二次根式的概念,被开方数相同的两个最简二次根式是同类二次根式,A

选项被开方数是\(2a\),不是同类二次根式;\(\sqrt{4}=2\),\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\),\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\),\(2\sqrt{2}\)与\(\sqrt{2}\)

是同类二次根式,故选C.

【总结】考查同类二次根式的概念,注意是化成最简二次根式以后.

【例32】 (1)(2015学年•杨浦区二模•第7题)写出\(\sqrt{a}-b\)的一个有理化因式:________.

   (2)(2015学年•闵行区二模•第2题)在下列各式中,二次根式\(\sqrt{a-1}\)的有理化因式是(    )

A.\(\sqrt{a+1}\)

B.\(\sqrt{a-1}\)

C.\(\sqrt{a}+1\)

D.\(\sqrt{a}-1\)

【答案】(1)答案不唯一,例:\(\sqrt{a}+b\);(2)B

【解析】根据有理化因式的概念,两个含有二次根式的非零代数式相乘,积不含有根号的两个式子互为有理化因式,可知(1)答案不唯一,一般改变式子各项中间的符号,即选择\(\sqrt{a}+b\),根据平方差公式,可知积不含有根号,可知两式互为有理化因式;(2)类型选择这个根式的倍数,故选B.

【总结】考查有理化因式的概念.

【例33】 (2015学年•浦东新区二模•第2题)如果最简二次根式\(\sqrt{x+2}\)与\(\sqrt{3x}\)是同类二次根式,那么x的值是(    )

A.\(-1\)

B.0

C.1

D.2

【答案】C

【解析】根据同类二次根式的概念,可知\(x+2=3x\),解得:\(x=1\),故选C.

【总结】考查根据同类二次根式的概念求解未知数的值.

【例34】 (2015学年•闵行区二模•第1题)在实数范围内分解因式:\(a{{}^{3}}-2a=\)______.

【答案】\(a\left( a+\sqrt{2} \right)\left( a-\sqrt{2} \right)\).

【解析】\(a{{}^{3}}-2a=a\left( {{a}^{2}}-2 \right)=a\left( a+\sqrt{2} \right)\left( a-\sqrt{2} \right)\).

【总结】考查在实数范围内分解因式,在方程有实数根的前提下可在实数范围分解因式,

    即\(a{{x}^{2}}+bx+c=a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\).

【例35】 (2015学年•黄浦区二模•第19题)化简求值:\(\frac{1}{x-2}· \frac{{{x}^{2}}-4}{x}-\frac{1+x}{{{x}^{2}}+x}\),其中\(x=\sqrt{2}-1\).

【答案】化简结果为\(\frac{x+1}{x}\),代值计算得:\(2+\sqrt{2}\).

【解析】化简分式,原式\(=\frac{1}{x-2}\cdot \frac{\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)}{x}-\frac{1+x}{x\left( 1+x \right)}=\frac{x+2}{x}-\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x}\),

    将\(x=\sqrt{2}-1\)代入,即得\(\frac{x+1}{x}=\frac{\sqrt{2}-1+1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}\left( \sqrt{2}+1 \right)=2+\sqrt{2}\).

【总结】考查分式的化简和代值计算.

【例36】 (2015学年•静安区二模•第19题)先化简,再求值:\(\frac{{{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}\div \left( \frac{1}{b}-\frac{1}{a} \right)\),

其中\(a=\sqrt{5}+1\),\(b=\sqrt{5}-1\).

【答案】化简结果\(\frac{ab}{a+b}\),代值计算得\(\frac{2\sqrt{5}}{5}\).

【解析】化简分式,原式\(=\frac{{{\left( a-b \right)}^{2}}}{\left( a+b \right)\left( a-b \right)}\div \frac{a-b}{ab}=\frac{a-b}{a+b}\cdot \frac{ab}{a-b}=\frac{ab}{a+b}\),

    将\(a=\sqrt{5}+1\),\(b=\sqrt{5}-1\)代入,即得\(\frac{ab}{a+b}=\frac{\left( \sqrt{5}+1 \right)\left( \sqrt{5}-1 \right)}{\left( \sqrt{5}+1 \right)+\left( \sqrt{5}-1 \right)}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\).

【总结】考查分式的化简和代值计算.

【例37】 (2015学年•宝山区、嘉定区二模•第19题)化简,再求值:\(\left( \sqrt{x}-\frac{x}{x+\sqrt{x}} \right)\div \frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\),其中\(x=2+\sqrt{2}\).

【答案】化简结果\(\frac{x}{x-1}\),代值计算得\(\sqrt{2}\).

【解析】化简分式,原式\(=\frac{x\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}\cdot \frac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-x}=\frac{x}{x-1}\),

    将\(x=2+\sqrt{2}\)代入,即得\(\frac{x}{x-1}=\frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}-1}=\left( 2+\sqrt{2} \right)\left( \sqrt{2}-1 \right)=\sqrt{2}\).

【总结】考查分式的化简和代值计算.

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